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auの場合は 携帯に届いたメールを自動的に転送することが出来ますので、自動的にメールのバックアップを取ることが出来ます。
ただ、携帯でメールの返信・作成を行う際に自動で bcc を付ける機能がないため、送信したメールはバックアップを取ることが出来ません。
au one なら出来そうに思えましたが、やっぱり駄目でした。使えねえ。
受信メールの転送には使えるので、一応書いておきます。
(1)au one IDを取得して (2)au oneメールの会員登録を行い、(3)携帯からケータイPC連動をONにしたうえで、
さらに(4)au one メールから「携帯メール自動保存設定」を変更すれば携帯に届いたメールを au one メールボックスに保存できますので、
(5)通常のメールソフトで扱えるようです。
ただ、携帯から送信したメールはアーカイブ扱い。行けてないなあ……